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    十大经典数学模型

    十大经典数学模型 1、 蒙特卡罗算法 (该算法又称随机性模拟算法, 是通过计算机仿真来解决问题的算法, 同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法) 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处 理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具) 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题属 于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件 实现) 4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及 到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备) 5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的 方法,很多场合可以用到竞赛中) 6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用 来解决一些较困难的最优化问题的算法, 对于有些问题非常有帮助, 但是算法的实现比较困 难,需慎重使用) 7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题 中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些 高级语言作为编程工具) 8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认 的是离散的数据, 因此将其离散化后进行差分代替微分、 求和代替积分等思想是非常重要的) 9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用 的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用) 10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要 不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进行 处理)

    1、蒙特卡罗方法(MC) (Monte Carlo) : 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的 计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划” 。该计划 的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种

    方法,为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下: 当所要求解的问题是某种事件出现的概率, 或者是某个随机变量的期望值时, 它们可以 通过某种“试验”的方法,得到这种事件出现的频率,或者这个随机变数的平均值,并用它 们作为问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何 数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模 型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。

    蒙特卡罗方法的计算程序: 关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多,如:EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、 GEANT 等。这些程序大多经过了多年的发展,花费了巨大的工作量。除欧洲核子研究中心 (CERN)发行的 GEANT 主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外,其它程序都深 入到低能领域,并被广泛应用。

    2、最优化理论的三大非经典算法 这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发 展很快。近几年的赛题越来越复杂,很多问题没有什么很好的模型可以借鉴,于是这三类算 法很多时候可以派上用场,比如:97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类 算法, 象 01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络, 还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法 有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽 象体现。目前算法最佳的是遗传算法。 遗传算法的基本概念 遗传算法的基本思想是基于 Darwin 进化论和 Mendel 的遗传学说的。 Darwin 进化论最重要的是适者生存原理。它认为每一物种在发展中越来越适应环境。 物种每个个体的基本特征由后代所继承, 但后代又会产生一些异于父代的新变化。 在环境变 化时,只有那些能适应环境的个体特征方能保留下来。 Mendel 遗传学说最重要的是基因遗传原理。它认为遗传以密码方式存在细胞中,并以 基因形式包含在染色体内。每个基因有特殊的位置并控制某种特殊性质;所以,每个基因产 生的个体对环境具有某种适应性。 基因突变和基因杂交可产生更适应于环境的后代。 经过存 优去劣的自然淘汰,适应性高的基因结构得以保存下来。

    遗传算法的原理 遗传算法 GA 把问题的解表示成 “染色体” , 在算法中也即是以二进制编码的串。 并且, 在执行遗传算法之前,给出一群“染色体” ,也即是假设解。然后,把这些假设解置于问题 的“环境”中,并按适者生存的原则,从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制,再通 过交叉,变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群。这样,一代一代地进化,最后就 会收敛到最适应环境的一个“染色体”上,它就是问题的最优解。 3、数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用, 与图形处理有关的问题很多与拟合有关系, 一个例子就 是 98 年美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度 的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据 的走向进行处理。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些 方法都能游刃有余的用好。

    4、规划类问题算法 竞赛中很多问题都和数学规划有关, 可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约 束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软 件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。

    5、图论问题 98 年 B 题、00 年 B 题、95 年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性,这类问题 算法有很多,包括:最大流,二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍,否则到比赛时 再写就晚了。

    6、计算机算法设计中的问题 计算机算法设计包括很多内容: 动态规划、 回溯搜索、 分治算法、 分支定界。 比如 92 年 B 题用分枝定界法,97 年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。 这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似, 推荐看一下 《计算机算法设计与分析》 (电 子工业出版社)等与计算机算法有关的书。

    7、网格算法和穷举算法 网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在 N 个变量情况下 的最优化问题, 那么对这些变量可取的空间进行采点, 计算量很大。 比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索, 这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行, 还有要用高级语 言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久的。

    8、一些连续数据离散化的方法 大部分物理问题的编程解决, 都和这种方法有一定的联系。 物理问题是反映我们生活在 一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。这种方法 应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用 了这个思想。

    9、数值分析算法 这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必 准备,因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的

    10、图象处理算法

    01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高, 不但需要编程计算还要进行处理, 而数模论文中也有很多图片需要展示, 因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部 分。


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